Wimmelpostkarte „Wo ist Anna?“

Ein Primzahlzwilling, ist ein Paar aus Primzahlen, welche voneinander nur den Abstand 2 haben, z.B. sind die Paare (3;5) und (5;7) jeweils Primzahlzwillinge. Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die Primzahlzwillings-Vermutung besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Sie ist eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie.

Primzahlzwillinge auf der Wimmel‐Postkarte. Findest Du noch mehr?

Schon seit langem versuchen Mathematiker herauszufinden, wieviele solche Primzahlzwillinge es gibt. Mit tiefer Mathematik, aber auch unter Einsatz moderner Rechner ist es immer wieder gelungen noch größere Primzahlzwillinge zu finden. Der aktuelle Rekord liegt bei 2996863034895·2^1290000-1 und 2996863034895·2^1290000+1.

Ebenso könnte man sich fragen, wie viele Primzahldrillinge – also Tripel von Primzahlen mit jeweils Abstand 2 – es gibt. In der Postkarte findet man das Beispiel (3;5;7). Eine einfache Überlegung zeigt, dass dies das einzige Beispiel ist:
Primzahlen haben ja per Definition genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selber. Sind nun p und p+2 Primzahlen, und ist p größer als 3, so sind weder p noch q durch drei teilbar.
Nun benutzen wir, dass genau jede dritte Zahl durch 3 teilbar ist. Sind also weder p noch q durch drei teilbar, so ist dann p+1 durch drei teilbar. Ist aber p+1 durch 3 teilbar, ist auch p+4 durch drei teilbar. Damit ist p+4 keine Primzahl. Also kann das Tripel p,p+2,p+4 nur dann aus Primzahlen bestehen, wenn p=3 gilt.

Ein weiteres, seit langem ungelöstes Problem ist die Goldbachsche Vermutung. Christian Goldbach formulierte 1742 in einem Brief an Leonard Euler die Vermutung, dass sich jede gerade Zahl größer gleich vier als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt. Viele haben seither erfolglos versucht, diese Vermutung zu beweisen.
Durch den Einsatz moderner Computer ist die Vermutung für gerade Zahlen kleiner gleich 4·10¹⁴ bestätigt.

Goldbachsche Vermutung

Nimm an, Du wärst in einer Spielshow und hättest die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Du wählst ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1. Der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet zufällig – ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit – eines der beiden anderen Tore (Tor Nummer 3), hinter dem sich eine Ziege befindet. Er fragt dich nun: Möchtest Du das Tor Nummer 2?

Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Tatsächlich sollte man seine Wahl ändern 2 . Diese Antwort folgt nicht jedermanns Intuition. Tatsächlich führte das Ziegenproblem immer wieder zu kontroversen Diskussionen.

Hinter welchem Tor befindet sich der Gewinn, hinter welchen Toren die Ziegen?

Erklärung:
Das Auto ist mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter dem vom Kandidaten zunächst gewählten Tor 1. Deshalb ist nach dem Öffnen des Tors 3 das Auto mit 2/3-Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2, und ein Wechsel führt mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Erfolg.